proyecto html: diciembre 2011

El aula virtual de Álgebra Lineal

LOGICA

Como capitulo 1.

Todos estamos familiarizados con la lógica y con la idea de que algunas personas poseen una "mentalidad lógica" mientras que otras no. ¿Cómo podemos entonces llegar a ser lógicos? No siempre resulta sencillo seguir razonamientos o argumentos extensos para obtener conclusiones válidas. El propósito de la lógica simbólica consiste en establecer un lenguaje simbólico artificial que se pueda utilizar para simplificar los argumentos lógicos complicados El gran matemático alemán Gottfried Leibniz (1646-1716) fue el primero en concebir este planteamiento cuando a la edad de 14 años intentó reformar la lógica clásica. Leibniz llamó a la lógica simbólica característica universal y escribió en 1666 que deseaba crear
un método general en el cual todas las verdades de la razón serían reducidas a una especie de cálculos Al mismo tiempo, esto constituiría un tipo de lenguaje o escritura universal, pero infinitamente distinto de todos los proyectados hasta ahora, ya que los símbolos, e incluso las palabras contenidas en él, dirigirían la razón; y los errores, excepto los de facto, serían meras equivocaciones en los cálculos. Sería muy difícil formar o inventar este lenguaje o característica, pero muy fácil de entenderlo sin necesidad de diccionarios.
Este sueño no se realizó hasta que el matemático inglés George Boole (1815-1864) separó los símbolos de las operaciones matemáticas de los conceptos sobre los cuales operaban y estableció un sistema factible y sencillo de lógica simbólica. En 1859, Boole expuso sus ideas en su obra An invest¿gat¡on of the Laws of Thought (Investigación de las leyes del pensamiento). Desgraciadamente, este trabajo no recibió buena aceptación. y no fue hasta que Bertrand Russell (1872-1970) y Alfred North White-head (186l-1947)utilizaron la lógica simbólica en su obra Principia Matemática que el mundo de la matemática dio importancia a las ideas propuestas inicialmente por Leibniz alrededor de 250 años antes.
En este libro se tratará de responder a la pregunta, ''¿Cómo podemos llegar a ser más lógicos?''. Se pretende aplicar la lógica no solamente en el trabajo formal ordinario sino también en la vida diaria. Es necesario poder comunicarse de manera inteligente con los demás; se requiere adquirir capacidad para analizar los argumentos de nuestros legisladores y dirigentes; necesitamos ser consumidores inteligentes para analizar las afirmaciones de los anunciantes. Bien sea que nos agrade o no, la lógica es una parte importante del mundo que nos rodea, y en este libro sentaremos las bases que nos ayudarán a ser más "lógicos".

CONJUNTOS

Como capitulo2.

Hipótesis del continuo. La colección de todos los conjuntos de números naturales P(N) tiene la llamada potencia del continuo: tantos elementos como (por ejemplo) puntos en una recta. Su estudio es uno de los principales problemas en la teoría de conjuntos.
La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos. Los conjuntos son colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas, y son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.
Más aún, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, ...; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de esta. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática. La propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos.
En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, los razonamientos y técnicas de la teoría de conjuntos se apoyan en gran medida en la lógica matemática.
El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas "puras" en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influenciado por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana de conjuntos propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros a principios del siglo XX.
Teoría básica de conjuntos
La teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del lenguaje matemático. Dados unos elementos, unos objetos matemáticos —como números o polígonos por ejemplo—, puede imaginarse una colección determinada de estos objetos, un conjunto. Cada uno de estos elementos pertenece al conjunto, y esta noción de pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica. Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como elementos de otros conjuntos. La pertenencia de un elemento a a un conjunto A se indica como a ∈ A.
Una relación entre conjuntos derivada de la relación de pertenencia es la relación de inclusión. Una subcolección de elementos B de un conjunto dado A es un subconjunto de A, y se indica como B ⊆ A.
Ejemplos.
Los conjuntos de números más usuales en matemáticas son el conjunto de los números naturales N, el de los números enteros Z, el de los números racionales Q, el de los números reales R y el de los números complejos C. Cada uno es subconjunto del siguiente:

El espacio tridimensional E₃ es un conjunto de objetos elementales denominados puntos p, p ∈ E₃. Las rectas r y planos α son conjuntos de puntos a su vez, y en particular son subconjuntos de E₃, r ⊆ E₃ y α ⊆ E₃.

[editar] Álgebra de conjuntos
Artículo principal: Álgebra de conjuntos
Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:
Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada elemento que está por lo menos en uno de ellos.

Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.

Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.

Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A^∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A, pero están en el conjunto referencial.

Diferencia simétrica de los conjuntos A y B es la unión de A\B y de B\A. Con esta operación el conjunto potencia de S forma un grupo y con la intersección, un anillo.

Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer (segundo) elemento pertenece a A (a B).

Teoría axiomática de conjuntos
La teoría de conjuntos "informal" o "elemental" apela a la intuición para determinar como se comportan los conjuntos. Sin embargo, es sencillo plantear cuestiones acerca de las propiedades de estos que llevan a contradicción si se razona de esta manera, como la famosa paradoja de Russell. Históricamente esta fue una de las razones para el desarrollo de las teorías axiomáticas de conjuntos, siendo otra el interés en determinar exactamente qué enunciados acerca de los conjuntos necesitan que se asuma el polémico axioma de elección para ser demostrados.
Las teorías axiomáticas de conjuntos son colecciones precisas de axiomas escogidos para poder derivar todas las propiedades de los conjuntos con el suficiente rigor. Algunos ejemplos conocidos son:
La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel

La teoría de conjuntos de Neumann-Bernays-Gödel

RELACIONES

Como capitulo 3.
En la imagen se muestra una función entre un conjunto de polígonos y un conjunto de números. A cada polígono le corresponde su número de lados.
En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r: el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π·r². Del mismo modo, la duración T de un viaje en un tren circulando a una velocidad v de 150 km/h depende de la distancia d entre el origen y el destino: la duración es inversamente proporcional a la distancia, T = v / d. A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la distancia) es la variable independiente.
De manera más abstracta, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere en matemáticas a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto. Por ejemplo, cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero):

...

−2 → +4 ,

−1 → +1 ,

±0 → ±0 ,

+1 → +1 ,

+2 → +4 ,

+3 → +9 ,

...

Esta asignación constituye una función entre el conjunto de los números enteros Z y el conjunto de los números naturales N. Aunque las funciones que manipulan números son las más conocidas, no son el único ejemplo: puede imaginarse una función que a cada palabra del español le asigne su letra inicial:

... ,

Estación → E ,

Museo → M ,

Arroyo → A ,

Rosa → R ,

Avión → A,

...

Esta es una función entre el conjunto de las palabras del español y el conjunto de las letras del alfabeto español.
La manera habitual de denotar una función f es:
f : X → Y
x → f(x) ,
donde X es el dominio de la función f, su primer conjunto o conjunto de partida; e Y es el codominio de f, su segundo conjunto o conjunto de llegada. Por f(x) se denota la regla o algoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario x del dominio X, es decir, el (único) objeto de Y que le corresponde. En ocasiones esta expresión es suficiente para especificar la función por completo, infiriendo el dominio y codominio por el contexto. En el ejemplo anterior, las funciones «cuadrado» e «inicial», llámeseles f y g, se denotarían entonces como:
f : Z → N
k → k² , o sencillamente f(k) = k² ;
g : V → A
p → Inicial de p ;
si se conviene V = {Palabras del español} y A = {Alfabeto español}.
Una función puede representarse de diversas formas: mediante el citado algoritmo para obtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla de valores que empareje cada valor de la variable independiente con su imagen —como las mostradas arriba—, o como una gráfica que dé una imagen de la función.